Au tableau !

Previously, on Vigies Pirates… Nous avons commencé par faire définir le taux de consanguinité, nous avons pris quelques exemples, et nous avons vu une méthode pour le calculer, qui suffit largement pour la plupart des situations courantes. Puis, comme ça, sans crier gare, je vous ai assommés avec un arbre généalogique propre à donner une bouffée d’angoisse à n’importe qui, et je vous ai laissés en plan. Pour un schéma compliqué, qui grandit en taille, la méthode des chemins n’est pas pratique, avec un gros risque d’oubli ou d’erreur, et donc pas recommandée.

Heureusement, là encore, la science a pensé à nous et a inventé d’autres méthodes plus… méthodiques. Celle que nous allons voir maintenant s’appelle la méthode tabulaire, tout simplement parce qu’elle repose sur la construction de tableaux. Moins populaire que la méthode des chemins (parce qu’en pratique, on est plus rarement dans des situations où on en a vraiment besoin), on trouve beaucoup moins de documentation à son sujet sur internet, et surtout avec moins de détails et d’explication sur la manière de l’appliquer pas-à-pas. Il m’a donc semblé utile de la présenter, en espérant que ce ne sera pas perdu pour tout le monde (laissez-moi rêver !).

Construction du premier tableau

La première étape de la méthode consiste à construire un tableau contenant nos informations de pedigree dans un ordre chronologique, de manière très simple : chaque ligne décrit un rat et ses parents ; dans la première colonne, on met le nom du rat, dans la deuxième, son père, dans la troisième, sa mère. Il est important de commencer par les premiers, car on va voir qu’on va lire le tableau de haut en bas, et qu’il ne faut pas rencontrer un enfant avant de rencontrer ses parents. Donc on rentre toujours les parents d’un rat avant de rentrer le rat lui-même (un peu comme au LORD !). Quand un rat n’a pas de parents connus, on dira que son père et sa mère sont le rat zéro, le rat inconnu.

Reprenons, pour la dernière fois, l’exemple du croisement père-fille (on l’aura bien rentabilisé celui-là !) :

arbreperefille

Je vais maintenant lire l’arbre de haut en bas (pour être sûre de toujours entrer les parents d’un rat avant le rat lui-même), et mon premier tableau, le tableau généalogique, s’écrit ainsi :

\begin{tabular}{|l|l|l|} \hline  M1 & 0 & 0 \\ \hline  F1 & 0 & 0 \\ \hline  F2 & M1 & F1\\ \hline  M3 & M1 & F2\\ \hline  \end{tabular}

Sur la première ligne, je lis que M1 est un rat de parents inconnus ; sur la deuxième, que F1 est également de parents inconnus ; sur la troisième, que F2 est la fille de M1 et F1 (je vérifie que M1 et F1 sont bien des rats déjà rentrés dans le tableau) ; et enfin je note M3 dont le père est M1 et la mère est F2.

L’idée de la méthode tabulaire est de ne pas avoir besoin de regarder tout le tableau (ou tout l’arbre) en entier pour trouver les chemins, mais juste de regarder une ou quelques lignes en arrière, et d’écrire le calcul de proche en proche. Finalement, c’est la route « inverse » de la méthode des chemins : pour la méthode des chemins nous avions d’abord fait des multiplications par 1/2 de proche en proche (de flèche en flèche) avant de les transformer en puissance en fonction de la longueur globale du chemin. Ici nous allons faire l’inverse, exprimer le taux de consanguinité global comme une décomposition d’opérations élémentaires (des divisions par deux, des divisions par quatre, des additions, et c’est tout. Même pas de puissances ! Maths niveau CE2 !)

Une fois le tableau généalogique construit (ça ne devrait pas être trop difficile), nous avons trois options pour continuer : l’option feignasse, l’option babasse, et l’option brutasse. Je précise qu’il ne s’agit pas d’appellations officielles.

L’option feignasse

Je donne mon tableau à un logiciel qui sait faire (Pedscope, ZooEasy, BreedingAssistant, Geneweb si j’ai la foi…). Fin de la méthode. Ouais, celle-là elle est cool ! Mais vous avez quand même envie de savoir comment ça marche, non ?

L’option babasse

Je comprends comment ça marche (grâce au paragraphe suivant), je prends mon petit ordinateur, et je programme une fonction, itérative ou récursive suivant mes préférences personnelles (en récursif, ça a l’air vraiment joli), qui va faire le calcul pour moi. Mais quand même, il faut que je la programme, donc c’est moins feignasse. Je mentionne la chose pour ceux d’entre vous qui auraient la fibre informaticienne !

L’option brutasse

Je comprends comment ça marche, je prends mon petit crayon, et j’applique méthodiquement, dans l’ordre, une série de calculs simples (il y en a beaucoup, mais ils sont tous faciles) sans me perdre en route car mon tableau est ordonné, donc je sais exactement dans quel ordre effectuer chaque calcul, et je ne risque pas de loucher en regardant un arbre généalogique droit dans les yeux.

Pour cela, nous avons besoin d’introduire une quantité intermédiaire, le taux de parenté entre deux rats (il existe plusieurs définitions du taux ou coefficient de parenté, nous utilisons ici celui de Gustave Malécot, un ami dont nous avons fait la connaissance la dernière fois). Il s’agit, simplement, du taux de consanguinité (noté par la lettre grecque alpha : α) des descendants qui naîtraient de l’union entre ces deux rats s’ils se reproduisaient ensemble. Notons le Φ (lettre grecque phi majuscule). On a la relation :

\alpha(Raoul) = \Phi(papa~de~Raoul,maman~de~Raoul)

qui signifie bien que le taux de consanguinité de Raoul est égal au taux de parenté entre son père et sa mère, et la relation :

\Phi(Prosper, Gertrude) = \alpha(rejeton~de~Prosper~et~Gertrude)

qui signifie que le taux de parenté entre Prosper et Gertrude est égal au taux de consanguinité de l’enfant qu’ils ont ensemble.

Φ est une fonction assez libérale, car elle permet aussi de calculer la parenté d’un rat avec lui-même, ou la parenté de deux mâles ensemble ; leur parenté est alors le taux de consanguinité de descendants « virtuels » (pas grave si ça ne peut pas arriver dans la vraie vie). Si l’on revient à la définition en probabilités, d’ailleurs, vous n’avez pas besoin de faire naître mentalement des rejetons contre-nature si ça vous dérange : le taux de parenté entre deux rats est également la probabilité de tomber sur deux allèles identiques par descendance si je tire au hasard un allèle chez chacun des deux rats. Ce qui est bien avec la fonction parenté, c’est que, contrairement à la consanguinité, nous allons pouvoir exprimer des relations simples entre la parenté de deux rats et la parenté de seulement quelques uns de leurs ascendants les plus proches.

Principe de construction du deuxième tableau

Le principe de la méthode tabulaire est de construire, après le tableau de pedigree, un nouveau tableau qui va contenir tous les taux de parenté entre toutes les paires possibles de rats, en le remplissant ligne par ligne, chaque ligne étant remplie grâce à la connaissance des précédentes.

Donc pour notre exemple père-fille, notre deuxième tableau va ressembler à :

\begin{tabular}{|l|c|l|l|l|}\hline  & F1 & M1 & F2 & M3 \\\hline  F1 & x & & & \\\hline  M1 & & & & \\\hline  F2 & & & & \\\hline  M3 & & & & \\\hline  \end{tabular}

et on va remplir les cases, une par une, en commençant en haut, chaque case contenant la parenté entre les rats de la ligne et la colonne correspondante. Par exemple, dans la case que j’ai marquée d’une croix et qui sera la première que je remplirai, il y aura la parenté de F1 avec F1. Le tableau étant symétrique (la parenté de Prosper et Gertrude est égale à la parenté de Gertrude et Prosper), je peux me contenter d’en remplir une grosse moitié : sa diagonale et tout ce qui se trouve en dessous, par exemple. Voici l’ordre dans lequel je vais remplir mes cases (je note ça calcul 1, calcul 2 pour ne pas confondre avec la vraie valeur de parenté qui remplira la case quand j’aurai fait le calcul en question) :

\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}\hline  & F1 & M1 & F2 & M3 \\\hline  F1 & calcul 1 & & & \\\hline  M1 & calcul 2 & calcul 3& & \\\hline  F2 & calcul 4 & calcul 5 & calcul 6 & \\\hline  M3 & calcul 7 & calcul 8 & calcul 9 & calcul 10 \\\hline  \end{tabular}

dont je pourrai déduire tous les coefficients de consanguinités de tous les rats.

Formule générale

Pour faire ce calcul, nous allons employer des formules de récurrence, qui expriment des relations entre la parenté entre deux rats d’une part, et les différentes parentés entre les quatre parents de ces deux rats d’autre part (s’ils en ont bien quatre distincts, on verra les cas particuliers plus tard). Ce qui va nous permettre de remplir chaque ligne directement en regardant les lignes précédentes. Le raisonnement est simple. Si deux rats, Prosper et Gertrude, sont apparentés, il y a quatre sources possibles pour cette parenté :

  • La mère de Prosper et la mère de Gertrude sont apparentées.
  • La mère de Prosper et le père de Gertrude sont apparentés.
  • Le père de Prosper et la mère de Gertrude sont apparentés. (Vous voyez où je veux en venir).
  • Le père de Prosper et le père de Gertrude sont apparentés. (Le compte est bon !)

On va donc traiter les probabilités associées à ces quatre cas.

Prenons le premier. On suppose que le père de Prosper, disons qu’il s’appelle Marcel, est apparenté à la mère de Gertrude, Germaine. Il y a donc une probabilité Φ(Marcel, Germaine) d’obtenir deux fois le même allèle en piochant un allèle de Marcel et un allèle de Germaine au hasard, par définition de la fonction Φ. Mais ensuite, encore faut-il que Prosper, fils de Marcel, ait transmis l’allèle en question à Raoul, ce qui ne se produit qu’à une chance sur 2. Et il faut aussi que Gertrude, fille de Germaine, ait transmis le même allèle à Raoul, ce qui se produit également à une chance sur deux. Donc Raoul a deux allèles identiques, l’un issu de Marcel et l’autre issu de Gertrude, avec une probabilité totale de 1/2 x 1/2 x Φ(Marcel, Germaine).

Il va se passer le même raisonnement pour les trois autres cas (mère de Prosper et père de Gertrude, père de Prosper et mère de Gertrude, etc.). Donc la consanguinité de Raoul, qui est la parenté entre Prosper et Gertrude, va s’exprimer comme la somme de quatre termes, chaque terme s’écrivant 1/4 x la fonction de parenté entre un de ses grands-parents maternels et un de ses grands-parents paternels.

Pour écrire ça d’une manière concise, et parce qu’on va finir par manquer de prénoms surannés, j’introduis quelques notations mathématiques supplémentaires. J’appelle Prosper « i », Gertrude « j », je définis la fonction « père » que je note par la lettre grecque π (pi : π(i) est le père de Prosper), la fonction « mère » que je note par la lettre grecque μ (mu : μ(j) est la mère de Gertrude), et j’obtiens la formule :

\Phi(i,j) = \frac{1}{4} \Phi\big(\pi(i),\pi(j)\big) + \frac{1}{4} \Phi\big(\pi(i),\mu(j)\big) + \frac{1}{4} \Phi\big(\mu(i),\pi(j)\big) + \frac{1}{4} \Phi\big(\mu(i),\mu(j)\big)

Ou, en bon français si on a peur des lettres grecques : la parenté entre Prosper et Gertrude est égale à un quart de la parenté entre le père de Prosper et le père de Gertrude, plus un quart de la parenté entre le père de Prosper et la mère de Gertrude, plus un quart de la parenté entre la mère de Prosper et le père de Gertrude, plus encore un quart de la parenté entre la mère de Prosper et la mère de Gertrude. (Vous ne trouvez pas que les notations mathématiques ont du bon ?)

Formules complémentaires

Il y a un tout petit souci, c’est que cette formule ne marche que si Prosper et Gertrude ne sont pas identiques, ont tous les deux leurs deux parents connus, que Prosper n’est pas le père de Gertrude, et que Gertrude n’est pas la mère de Prosper. Ce qui est vrai presque tout le temps dans les grandes familles, mais ça peut arriver quand même (et plus que souvent dans notre exemple minimal du père-fille). Dans ce cas, on va avoir besoin de quelques formules complémentaires, que l’on peut démontrer par le même type de raisonnement en probabilité que ci-dessus.

Par exemple, si Prosper est le père de Gertrude (π(j)=i) on a :

\Phi(\pi(j),j) = \frac{1}{2}\Phi\big(\pi(j),\pi(j)\big) + \frac{1}{2}\Phi\big(\pi(j),\mu(j)\big)

N’hésitez pas à dessiner l’arbre généalogique du croisement père-fille entre Prosper Gertrude et d’appliquer la méthode des chemins, vous devez retrouver cette formule. Et on fait de même pour les cas où Raoul est la mère de Gertrude, où Gertrude est la mère de Raoul, et où Gertrude est le père de Raoul pour obtenir les relations complémentaires utiles :

Si Prosper est la mère de Gertrude (μ(j)=i) :

\Phi(\mu(j),j) = \frac{1}{2}\Phi\big(\mu(j),\mu(j)\big) + \frac{1}{2}\Phi\big(\pi(j),\mu(j)\big)

Si Gertrude est la mère de Prosper (μ(i)=j):

\Phi(i,\pi(i)) = \frac{1}{2}\Phi\big(\pi(i),\pi(i)\big) + \frac{1}{2}\Phi\big(\pi(i),\mu(i)\big)

Et enfin si Gertrude est le père de Prosper (π(i)=j):

\Phi(i,\pi(i)) = \frac{1}{2}\Phi\big(\pi(i),\pi(i)\big) + \frac{1}{2}\Phi\big(\pi(i),\mu(i)\big)

En réalité, il suffit d’en mémoriser une seule des quatre, puisque la fonction parenté Φ est symétrique, et qu’on peut échanger le rôle du père et de la mère (ils ont un rôle strictement équivalent du point de vue de la transmission des gènes).

Il peut également se produire un autre cas : Prosper ou Gertrude n’ont pas de parents connus. Si ni l’un ni l’autre n’ont de parents connus, on ne peut que supposer qu’ils ne sont pas apparentés, donc que leur parenté vaut zéro (il n’y a rien de plus logique à supposer, en l’absence de toute information). Si l’un a des parents connus, mais pas l’autre, par exemple Prosper (i) n’a pas de parents connus, mais Gertrude (j) en a, et qu’aucun parent de Gertrude n’est égal à Prosper (cas déjà traité), nous avons la relation : Dans ce dernier cas, le raisonnement sur les probabilités nous donne :

\Phi(i,j) = \frac{1}{2}\Phi\big(i, \pi(j)\big) + \frac{1}{2}\Phi\big(i,\mu(j)\big)

Ce cas est également obtenu en raisonnant avec les probabilités. Il nous reste un tout dernier cas, celui où Prosper et Gertrude sont un seul et même rat (qui sait, Prosper a peut-être gagné l’Eurovision !). Dans ce cas, en revenant aux définitions probabilistes de la consanguinité et de la parenté, nous avons :

\Phi(i, i) = \frac{1}{2}\big(1 + \alpha(i)\big)

Ce qui nous montre au passage que pour calculer le taux de consanguinité d’un rat, on peut calculer son taux de parenté avec lui-même et utiliser la relation inverse de la précédente :

\alpha(i) = 2 \times \Phi(i, i) - 1

Et donc, en calculant les taux de parenté de tout le monde avec tout le monde, la méthode tabulaire va bien nous permettre de calculer le taux de consanguinité de chacun. Et notre premier tableau, à quoi sert-il alors ? Et bien, à savoir à chaque instant qui sont le père et la mère d’un rat, autrement dit, à nous donner les fonctions π et μ à chaque fois que nous en aurons besoin, chaque ligne du tableau de pedigree nous donnant dans l’ordre, de droite à gauche, une liste (i,π(i),μ(i)).

Exemple d’application

C’est bien beau toutes ces formules, mais maintenant, on en fait quoi ? Nous avons toutes les règles de calcul nécessaires pour remplir notre tableau, case par case et ligne par ligne, et c’est ce que nous allons faire, tout bêtement, en veillant simplement à utiliser la bonne règle à chaque fois. Faisons-le ensemble pour le cas du croisement père-fille en nous rappelant du tableau à remplir, et de l’ordre des calculs à effectuer :

\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}\hline  & F1 & M1 & F2 & M3 \\\hline  F1 & calcul 1 & & & \\\hline  M1 & calcul 2 & calcul 3& & \\\hline  F2 & calcul 4 & calcul 5 & calcul 6 & \\\hline  M3 & calcul 7 & calcul 8 & calcul 9 & calcul 10 \\\hline  \end{tabular}

Pour le premier calcul, nous devons calculer la parenté de F1 avec elle-même, Φ(F1,F1). F1 est une fondatrice (elle n’a pas de parents connus), supposée non consanguine, donc Φ(F1,F1)=1/2. Nous passons à la ligne suivante, le calcul 2. Nous devons calculer la parenté de M1 avec F1. F1 et M1 sont tous les deux des fondateurs, et ils ne sont pas identiques, donc Φ(F1,M1) = 0. Le calcul 3 est à nouveau un calcul de parenté d’un fondateur avec lui-même, il est donc identique au premier calcul. Commençons à remplir notre tableau :

\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}\hline  & F1 & M1 & F2 & M3 \\\hline  F1 & 1/2 & & & \\\hline  M1 & 0 & 1/2 & & \\\hline  F2 & calcul 4 & calcul 5 & calcul 6 & \\\hline  M3 & calcul 7 & calcul 8 & calcul 9 & calcul 10 \\\hline  \end{tabular}

Notre prochain calcul, le quatrième, est le calcul de parenté entre F2 et F1. Bien sûr F1 et F2 ne peuvent pas se reproduire ensemble, mais je peux tout de même définir leur fonction de parenté en imaginant qu’elles le puissent, donc qu’un ovule issu de F1 puisse s’unir à un ovule issu de F2 (les probabilités sont intimement liées au processus biologique de production et rencontre des gamètes, il est bon de s’en souvenir). Or, F1 est la mère de F2, je vais donc appliquer la règle correspondante, soit :

\Phi(F1,F2) = \frac{1}{2} \Phi(F1,\pi(F2)) + \frac{1}{2} \Phi(F1,\mu(F2))

Je lis dans le tableau de pedigree qui sont les parents de F2, et je remplace, ce qui me donne :

\Phi(F1,F2) = \frac{1}{2} \Phi(F1,M1) + \frac{1}{2} \Phi(F1,F1)

Bonne nouvelle : le calcul 4 ne fait intervenir que des quantités que j’ai déjà calculées dans la ligne précédente du tableau ! je n’ai qu’à aller les lire dans les cases où je les ai déjà écrites. J’obtiens donc Φ(F1,F2) = 1/2 x 0 + 1/2 x 1/2 = 1/4 (nous retrouvons bien le taux de consanguinité d’un croisement entre parent et enfant, 25%). Le calcul 5 est identique puisque cette fois nous calculons la parenté entre F2 et son père M1. Je termine la ligne par le calcul 6 qui est le calcul de parenté de F2 avec elle-même. F2 n’est pas consanguine, sa parenté avec elle-même est donc de 1/2. Je complète mon tableau :

\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}\hline  & F1 & M1 & F2 & M3 \\\hline  F1 & 1/2 & & & \\\hline  M1 & 0 & 1/2 & & \\\hline  F2 & 1/4 & 1/4 & 1/2 & \\\hline  M3 & calcul 7 & calcul 8 & calcul 9 & calcul 10 \\\hline  \end{tabular}

À ce stade, si seule la consanguinité de M3 m’intéresse, je peux m’arrêter : en effet, le taux de consanguinité de M3 est égal au taux de parenté entre ses parents, que nous pouvons lire directement dans la case F2-M1 (calcul 5). En revanche, si je voulais continuer mon arbre, il pourrait être intéressant de finir de remplir le tableau, pour s’en servir plus tard (et comme ça, on vérifie ensemble qu’on a bien compris comment ça marche).

Il ne me reste plus qu’une ligne à compléter. Pour le calcul 7, je dois calculer la parenté entre M3 et F1. F1 n’est pas la mère de M3, elle n’a pas de parents, mais M3 en a, donc j’applique la règle correspondant à ce cas (je vous épargne les π et les μ) :

\Phi(F1,M3) = \frac{1}{2}\Phi(F1, M1) + \frac{1}{2}\Phi(F1,F2)

Le calcul fait à nouveau intervenir des parentés que j’ai déjà calculées, et me donne Φ(F1,M3) = 1/8, qui est bien le taux de consanguinité d’un croisement entre une grand-mère et un son petit-fils.

Pour le calcul 8, il me faut la parenté entre M1 et M3. M1 est le père de M3, donc j’applique la règle correspondante :

\Phi(M1,M3) = \frac{1}{2}\Phi(M1,\pi(M3)) + \frac{1}{2}\Phi(M1,\mu(M3)) \\ \Phi(M1,M3) = \frac{1}{2}\Phi(M1,M1) + \frac{1}{2}\Phi(M1,F2)

Encore une fois, le calcul ne fait intervenir que des parentés déjà calculées : la parenté de M1 avec lui-même qui vaut 1/2 et la parenté de M1 avec F2 (calcul 5) qui vaut 1/4. La parenté entre M1 et M3 vaut donc au total Φ(M1,M3)=1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/4 = 3/8. Ce n’est pas une valeur usuelle, car M1 est à la fois le père et le grand-père de M3, donc nous ne pouvons plus lire dans une abaque ; c’est un cas où de toute manière, nous aurions dû réfléchir, donc finalement, on s’en sort plutôt bien !

Il nous reste deux cases à remplir. Pour la case 9, nous calculons la parenté de M3 avec sa mère F2, donc nous appliquons la règle correspondant à ce cas. Pour la dernière, nous calculons la parenté de M3 avec lui-même, qui est égale à Φ(M3,M3) = 1/2 x (1+Φ(M1,F2)), encore une quantité déjà calculée (on est bien en train de tournicoter entre le taux de consanguinité de M3 et son taux de parenté avec lui-même). Notre tableau est maintenant complet :

\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}\hline  & F1 & M1 & F2 & M3 \\\hline  F1 & 1/2 & & & \\\hline  M1 & 0 & 1/2 & & \\\hline  F2 & 1/4 & 1/4 & 1/2 & \\\hline  M3 & 1/8 & 3/8 & 1/2 & 5/8 \\\hline  \end{tabular}

Nous pouvons lire le taux de consanguinité de M3 à deux endroits différents : directement dans la case de parenté entre ses parents M1 et F2, ce qui nous donne 1/4 = 25% ; ou indirectement, dans la case de sa parenté avec lui-même, avec la relation α(M3) = 2 x Φ(M3,M3)-1 = 2 x 5/8 – 1 = 5/4 – 1 = 1/4 = 25% (ouf, ça fait pareil !).

Mais pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ?

Aucune raison : si vous êtes devant un cas aussi simple que le père-fille, ou n’importe quel cas avec un ou deux ancêtres communs apparaissant chacun exactement deux fois dans l’arbre généalogique, il n’y a aucune raison de se faire suer avec la méthode tabulaire. Sauf, éventuellement, pour vérifier si on a un doute… ou si on utilise un logiciel, ce qui sera toujours plus facile que n’importe quel calcul à la main – mais je n’allais quand même pas vous recommander d’utiliser une boîte noire sans savoir ce qu’elle faisait à l’intérieur, c’est pas le genre de la maison !

Notons par exemple que pour cet arbre tout petit, nous n’avons jamais utilisé la relation générale avec quatre termes, faisant intervenir les quatre parents de i et de j. La méthode tabulaire devient intéressante, en réalité, si on a besoin de beaucoup faire appel à cette relation, parce que ça veut dire qu’on est dans un grand arbre. Cela arriverait en effet beaucoup plus souvent si nous faisions cela sur un arbre plus grand et plus compliqué, tel que l’affreux arbre du précédent article, ou pire.

Notons aussi que le nombre de calculs à effectuer augmente comme le carré du nombre de rats. Si mon arbre généalogique contient au total 100 rats différents, mon tableau de parenté va comporter 100 x 100 cases, et il va falloir que je remplisse la moitié d’entre elles (en fait, les 100 cases de la diagonale, et la moitié de ce qui reste, soit 100 x 99 / 2 = 4950 cases). Je vais donc devoir faire beaucoup de calcul. Pire, je vais faire des calculs inutiles, et aussi plusieurs fois le même calcul. Le calcul par la méthode tabulaire peut donc sembler beaucoup plus pénible et laborieux que la méthode des chemins, j’en conviens. Sur un exemple aussi simple que celui que nous avons traité, on n’en voit pas beaucoup l’intérêt ; en fait, il n’avait qu’un intérêt pédagogique.

Mais l’intérêt majeur de la méthode tabulaire est surtout de garantir qu’on n’oubliera personne en route, et de donner une procédure pour faire le calcul, étape par étape, dans un certain ordre. Pour la méthode des chemins, il vous faut localiser tout seul les ancêtres communs (au risque d’en oublier), puis identifier les chemins (au risque d’en oublier aussi, ou de compter deux fois le même), et personne ne vous dit réellement comment et dans quel ordre procéder. Encore une fois, sur un arbre compliqué, seule la méthode tabulaire (longue, bête et méchante mais méthodique et rigoureuse) vous garantit de vous en sortir.

Mais quand même, on ne peut pas faire mieux que ça ?

En fait, si, on peut. Il existe des algorithmes avancés de calcul rapide du tableau de parenté, qui s’appuient tous sur le même type de méthodes : remarquer que le tableau de parenté est ce qu’on appelle en mathématiques une matrice, qui plus est une matrice « triangulaire inférieure » (qui vaut zéro partout au-dessus de sa diagonale) fortement structurée par les relations qui existent entre ses coefficients, et faire appel à toute une machinerie de calcul sur de tels objets, « l’algèbre linéaire », pour optimiser le nombre de calculs à faire. Autant vous dire que je ne vous parlerai pas de ça ici (contrairement aux apparences, j’ai quand même envie de garder quelques lecteurs) – je pense que si ce que je viens de raconter vous parle et vous intéresse, en réalité, vous n’avez pas du tout besoin de moi pour l’aborder. Il faut quand même savoir que les logiciels commerciaux de gestion d’élevage qui calculent le taux de consanguinité pour vous s’appuient tous sur ce genre d’algorithmes avancés.

Il existe également des cas très particuliers dans lesquels on peut faire encore beaucoup mieux (mieux que les chemins, mieux que les tableaux, et même mieux que les logiciels !). C’est assez joli, pas très utile, et ça n’intéressera que les matheux (mais si vous vous êtes toujours demandé pourquoi on vous avait enquiquiné au lycée avec ces fichues suites récurrentes, ça vous amusera peut-être d’en voir un exemple), aussi ce sera l’objet d’un article « bonus » séparé, que vous pourrez soigneusement éviter si les maths vous donnent des boutons.

D’ailleurs, si les maths vous donnent des boutons et que vous êtes arrivés jusqu’ici, je vous félicite pour votre courage !

Vous pouvez ranger vos calculatrices

Voilà qui clôt donc notre série sur le calcul du taux de consanguinité. Jusqu’ici, je ne me suis jamais permis de dire si c’était « bien » ou « mal » de faire des mariages consanguins dans un élevage : il s’agissait juste de calcul, et de comprendre le rapport entre le chiffre et les gènes. Cette vaste question de l’emploi de la consanguinité dans l’élevage d’animaux domestiques, tout-à-fait légitime et intéressante, nous l’aborderons… dans une prochaine série d’articles où j’espère bien sûr vous retrouver !

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